Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Kennst du zwei Seiten, berechnest du mit ihm die dritte.
In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c, der längsten Seite, gilt:
a² + b² = c²
Was sagt der Satz des Pythagoras?
Zeichnest du über jede Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat, dann sind die beiden kleinen Quadrate zusammen genau so groß wie das große Quadrat über der längsten Seite. In Zeichen: a² + b² = c².
Deshalb steht in der Formel „hoch 2“: a² ist die Fläche des Quadrats mit der Seitenlänge a. Gesucht ist am Ende aber meist eine Länge. Darum ziehst du im letzten Schritt die Wurzel.
Katheten und Hypotenuse erkennen
c liegt immer gegenüber vom rechten Winkel!
Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten. Die dritte Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und heißt Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite des Dreiecks.
Die Buchstaben sind nur Namen. Heißt die Hypotenuse in deiner Aufgabe b oder x, dann steht eben dieser Buchstabe allein auf der rechten Seite der Gleichung.
Fehlende Kathete berechnen
Kennst du die Hypotenuse und eine Kathete, stellst du die Formel um: b² = c² − a². Du rechnest also „großes Quadrat minus kleines Quadrat“ und ziehst danach die Wurzel. Ist das Ergebnis unter der Wurzel negativ oder null, hast du Hypotenuse und Kathete vertauscht.
Umkehrung: Ist das Dreieck rechtwinklig?
Der Satz funktioniert auch rückwärts. Gilt für die drei Seiten eines Dreiecks a² + b² = c², dann hat das Dreieck einen rechten Winkel, und zwar gegenüber der Seite c. Damit kannst du prüfen, ob eine Ecke wirklich rechtwinklig ist.
Pythagoreische Zahlentripel
Manche Dreiecke haben nur ganzzahlige Seiten. Solche Zahlentripel tauchen in Aufgaben oft auf:
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
Auch jedes Vielfache davon passt, zum Beispiel 6, 8 und 10.
Woher der Satz kommt
Benannt ist der Satz nach Pythagoras von Samos, der etwa von 570 bis um 490 v. Chr. lebte. Dass er den Satz selbst bewiesen hat, ist nicht belegt. Schon die Babylonier kannten solche Zahlentripel mehr als tausend Jahre früher: Die Tontafel Plimpton 322 stammt aus der Zeit um 1800 v. Chr.
Beispiele
Hypotenuse berechnen
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 3 cm und b = 4 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse c.
- c² = a² + b²
- c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- c = √25 = 5 cm
Ergebnis: c = 5 cm
Kathete berechnen
Die Hypotenuse ist c = 13 cm lang, eine Kathete a = 5 cm. Wie lang ist die andere Kathete b?
- b² = c² − a²
- b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
- b = √144 = 12 cm
Ergebnis: b = 12 cm
Hypotenuse berechnen
Gib zwei Seitenlängen ein. Komma und Punkt funktionieren beide.
c = √(a² + b²)
Beispiel · Ergebnis
c = 5 cm
- c² = a² + b²
- c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- c = √25 = 5 cm
Häufige Fehler
Die längste Seite wird als Kathete eingesetzt.
Die Hypotenuse c liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist immer die längste Seite. Nur sie steht allein auf einer Seite der Gleichung.
Nach c² = 25 wird c = 25 cm aufgeschrieben.
Zum Schluss die Wurzel ziehen: c = √25 = 5 cm.
Die Formel wird in einem Dreieck ohne rechten Winkel benutzt.
Der Satz gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Für andere Dreiecke brauchst du später den Kosinussatz.
Das Ergebnis bekommt die Einheit cm².
Gesucht ist eine Länge, also cm. Nur die Zwischenwerte a², b² und c² sind Flächen in cm².
Übungen
Rechne erst selbst, dann vergleiche mit der Lösung.
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind a = 6 cm und b = 8 cm lang. Berechne die Hypotenuse c.
Lösung zeigen zu Aufgabe 1
- c² = a² + b²
- c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
- c = √100 = 10 cm
Ergebnis: c = 10 cm
Die Hypotenuse ist c = 17 cm lang, die Kathete a = 8 cm. Berechne die Kathete b.
Lösung zeigen zu Aufgabe 2
- b² = c² − a²
- b² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225
- b = √225 = 15 cm
Ergebnis: b = 15 cm
Eine 2,5 m lange Leiter lehnt an einer Wand. Ihr Fuß steht 0,7 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter?
Lösung zeigen zu Aufgabe 3
- b² = c² − a²
- b² = 2,5² − 0,7² = 6,25 − 0,49 = 5,76
- b = √5,76 = 2,4 m
Ergebnis: b = 2,4 m
Ist ein Dreieck mit den Seiten 9 cm, 12 cm und 15 cm rechtwinklig?
Lösung zeigen zu Aufgabe 4
Ja. Prüfe mit der Umkehrung: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 und 15² = 225. Beide Seiten sind gleich, also hat das Dreieck einen rechten Winkel gegenüber der 15-cm-Seite.
Quellen
- Satz des Pythagoras, Mathematik-Online-Lexikon, Universität Stuttgart
- Euclid's Elements, Book I, Proposition 48 (Umkehrung), D. E. Joyce, Clark University
- LehrplanPLUS Gymnasium, Mathematik 9, Lernbereich 6, ISB Bayern
- Pythagoras, Stanford Encyclopedia of Philosophy
- Mathematical mystery of ancient Babylonian clay tablet revealed, UNSW Sydney
- Strategien zur Vermeidung von Fehlern und Fehlvorstellungen beim Satz von Pythagoras (Masterarbeit), Marlene Raimer, Universität Wien 2022
Erstellt mit KI-Unterstützung, Fakten gegen die genannten Quellen geprüft. Mehr dazu im KI-Hinweis.